Xavier
Au cours d’un trek en Jordanie, le guide bédouin a posé à l’un de mes petits-fils , ingénieur telecom, la question suivante :

"On dispose d’une balance ce à deux plateaux et de quatre poids, quelles doivent être les valeurs de ces poids pour pouvoir peser au kilo près un sac de riz d’un poids maximum de 40kg ? Les poids peuvent être disposés des deux côtés de la balance."

La réponse (que je vous livre pour vous éviter de tester toutes les combinaisons) est que les quatre poids doivent être respectivement de 1, 3, 9 et 27kg. Mon petit-fils m’a aussitôt avisé sachant que je faisais de ces quatre nombres des métanombres constitutifs avec le 0, et le 2 de la
méta-arithmétique. Voyez comme du fond du désert nabatéen peut surgir une interpellation pour la TGS !

Je suis très intrigué par cette astuce transmise sans doute de berger à berger depuis l’antiquité. Car vous savez que pour moi le code génétique avec ses 64 codons sextuplets n’est pas imputable au hasard mais au statut ontologique de la logique trialectique et de la numération binaire. Par
contre je ne vois pas d’où sort ce total de 40 kg, peut-être parce que c’était (avec une unité de poids mystérieusement proche de l’unité cgs) le maximum de poids des moutons que pesaient les bergers pour les vendre.

Jacques Malbrancke
Merci, Xavier, de ton interpellation, et de cette coïncidence. mais je ne comprends pas, à vrai dire, ta réflexion sur le nombre 40. En fait, le nabatéen dit qu’avec les nombres 1,3,9,27, on peut, à l’aide d’addition et de soustraction d’un ou plusieurs de ces nombres (que j’appelle donc de base), obtenir tous les chiffres et les nombres de 1à 40. Ce qui est d’une part indépendant du fait que la question est posée dans un contexte de poids
de mouton et de balance, et aussi, pour moi, indépendant du système de numération pour coder des chiffres et ces nombres. Donc, dans la biosphère où la multiplication et la division n’ont pas de signification, il en résulte que ces quatre métanombres (auxquels la TNN ajoute le 2) sont
nécessaires et suffisants pour une numérotation complète de 1 à 40. Je l’ai vérifié. Et si l’on poursuit, le nombre 81 permet de continuer cette numérotation jusque 121 (81 + 40), et ensuite 243 (3 exp 5)...

Le théroème de Xavier Sallantin s’énonce donc ainsi : la suite des exposants de 3 (3 exp 0, 3 exp 1, 3 exp 2... 3 exp n...) suffisent pour engendre la suite des nombre entiers naturels. Ces exposants de 3 sont appelés
métanombres dans la TNN (Théorie de la ( numérotation ) numération naturelle).

Je pense personnellement que ce théorème, dans la mesure où il parle de la génération des nombres entiers naturels et non de leur transcription, est indépendant de la base du système de numérotation.

Xavier, tu tiens là une validation formidable (pour moi) de ton intuition des métanombres. Ceci nous donne un argument sur le rôle de ces métanombres dans la d’isomorphisme entre les codons et la suite des nombres premiers...

A suivre, mais je suis plein d’enthousiasme.

Guilhem Caumel
Je ne pensais pas que l’enigme posée par ce guide bédouin souleverait autant d’enjeux -du moins, me concernant-, si ce n’est la bouteille qu’il m’avait promise en cas de réussite. Vin jordanien que je vous recommande vivement d’ailleurs.
Le premier réflexe pour décomposer un entier naturel avec un nombre limité de poids est de passer en base 2 : en base n, il faut n-1 poids de chaque puissance n^i, en base 2, un seul de chaque suffit donc. Sauf que ce formalisme appliqué en informatique ignore la soustraction, ce que la balance me permettait.
Lorsque l’on rajoute la soustraction, la base 3 s’avère particulièrement efficace -1 poids par puissance- pour décrire les naturels quand les bases supérieures nécessitent à nouveau plus d’un poids par puissance.
A partir de cet exemple, j’ai compris le sens de l’explication que m’avait donné mon grand-père sur les métanombres et les lois qui sont à la base de nombreuses théories physiques (0,1,3,puissance, soustraction/intrication).
Ils sont forts ces bédouins !

Jean-Nicolas Maisonnier
Cette histoire de 40 et des puissances de trois qui nous arrive le jour du début de la quarantaine annuel (Carême) des disciples du Dieu trine ... c’est fort ! Je reconnais là l’humour de Xavier . Merci à toi Xavier et à toi Guilhem de nous donner de quoi nourrir nos réflexions arithmétiques et thélogiques ! Ce carême va être joyeux et fécond.

L’image de la balance et des métanombres à déplacer d’un coté ou de l’autre (addition ou soustraction) pour engendrer les entiers naturels est parlante. Jacques, l’énnoncé de ton Théoreme de Xavier me parait très clair et bien résumer les leçons à tirer de l’énigme du bédouin.
As-tu une démonstration simple du l’unicité de la solution ?

Alain Bruyère
Attention de ne pas être aveuglé ; cela semble incroyable que pour peser 40kg max, avec 4 nombres différents on puisse le faire avec 1-3-9-27 mais en réalité il me semble que c’est parce que 1+3+9+27=40, qu’on peut construire
tous les nombres de 1 à 40 ; avec 1-3-9-27-81 on peut construire tous les nombres de 1 à 121, avec 1-2-4-8 on peut aussi construire tous les nombres de 1 à 15 et avec 1-2-4-8-16, tous les nombres de 1 à 31 et avec 1-2-4-8-16-32, de 1 à 63 etc. Par contre, avec 1-4-16-64, impossible, cela
ne marche qu’avec les puissances de 2 et de 3 !

=> qu’en tirer comme conclusion ?

Jacques Malbrancke
Alain, je crois que tu as posé la bonne question : on constate que les suites des puissances entières de 1, 2 et de 3 permettent chacune, par addition et soustraction, d’obtenir tous les nombres entiers naturels. On constate aussi que cette propriété ne s’étend pas pour les chiffres supérieurs. Il me semble aussi que cette propriété, liée aux nombres et non à leur transcription écrite, est indépendante de la base choisie. Enfin je pense
que toute "démonstration" de cette propriété n’amènerait rien.

Par contre, que dire des nombres premiers ? Tout nombre premier, étant un nombre entier naturel, peut s’écrire sous forme d’une suite d’additions et/ou de soustractions de puissances de 2 et de 3. Chacune de ces suites aurait-elle des propriétés particulières pour les nombres premiers ?

Michel Godron
Il n’y a rien d’incroyable à constater qu’un petit nombre de puissances de 2 additionnées systématiquement permette de contruire un beaucoup plus grand nombre de nombres entiers. Un programme de 4 lignes écrit dans le langage d’Iverson montre que :

etc. puisque l’augmentation du nombre de nombres entiers
ainsi construits augmente régulièrement selon la progresssion 40 80 160 320 640 etc.

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