Enigme bédouine

vendredi 23 février 2007
par  Xavier SALLANTIN

Résumé des premiers échanges d’une discussion lancée par un email de Xavier.

Xavier
Au cours d’un trek en Jordanie, le guide bédouin a posé à l’un de mes petits-fils , ingénieur telecom, la question suivante :

"On dispose d’une balance ce à deux plateaux et de quatre poids, quelles doivent être les valeurs de ces poids pour pouvoir peser au kilo près un sac de riz d’un poids maximum de 40kg ? Les poids peuvent être disposés des deux côtés de la balance."

La réponse (que je vous livre pour vous éviter de tester toutes les combinaisons) est que les quatre poids doivent être respectivement de 1, 3, 9 et 27kg. Mon petit-fils m’a aussitôt avisé sachant que je faisais de ces quatre nombres des métanombres constitutifs avec le 0, et le 2 de la
méta-arithmétique. Voyez comme du fond du désert nabatéen peut surgir une interpellation pour la TGS !

Je suis très intrigué par cette astuce transmise sans doute de berger à berger depuis l’antiquité. Car vous savez que pour moi le code génétique avec ses 64 codons sextuplets n’est pas imputable au hasard mais au statut ontologique de la logique trialectique et de la numération binaire. Par
contre je ne vois pas d’où sort ce total de 40 kg, peut-être parce que c’était (avec une unité de poids mystérieusement proche de l’unité cgs) le maximum de poids des moutons que pesaient les bergers pour les vendre.

Jacques Malbrancke
Merci, Xavier, de ton interpellation, et de cette coïncidence. mais je ne comprends pas, à vrai dire, ta réflexion sur le nombre 40. En fait, le nabatéen dit qu’avec les nombres 1,3,9,27, on peut, à l’aide d’addition et de soustraction d’un ou plusieurs de ces nombres (que j’appelle donc de base), obtenir tous les chiffres et les nombres de 1à 40. Ce qui est d’une part indépendant du fait que la question est posée dans un contexte de poids
de mouton et de balance, et aussi, pour moi, indépendant du système de numération pour coder des chiffres et ces nombres. Donc, dans la biosphère où la multiplication et la division n’ont pas de signification, il en résulte que ces quatre métanombres (auxquels la TNN ajoute le 2) sont
nécessaires et suffisants pour une numérotation complète de 1 à 40. Je l’ai vérifié. Et si l’on poursuit, le nombre 81 permet de continuer cette numérotation jusque 121 (81 + 40), et ensuite 243 (3 exp 5)...

Le théroème de Xavier Sallantin s’énonce donc ainsi : la suite des exposants de 3 (3 exp 0, 3 exp 1, 3 exp 2... 3 exp n...) suffisent pour engendre la suite des nombre entiers naturels. Ces exposants de 3 sont appelés
métanombres dans la TNN (Théorie de la ( numérotation ) numération naturelle).

Je pense personnellement que ce théorème, dans la mesure où il parle de la génération des nombres entiers naturels et non de leur transcription, est indépendant de la base du système de numérotation.

Xavier, tu tiens là une validation formidable (pour moi) de ton intuition des métanombres. Ceci nous donne un argument sur le rôle de ces métanombres dans la d’isomorphisme entre les codons et la suite des nombres premiers...

A suivre, mais je suis plein d’enthousiasme.

Guilhem Caumel
Je ne pensais pas que l’enigme posée par ce guide bédouin souleverait autant d’enjeux -du moins, me concernant-, si ce n’est la bouteille qu’il m’avait promise en cas de réussite. Vin jordanien que je vous recommande vivement d’ailleurs.
Le premier réflexe pour décomposer un entier naturel avec un nombre limité de poids est de passer en base 2 : en base n, il faut n-1 poids de chaque puissance n^i, en base 2, un seul de chaque suffit donc. Sauf que ce formalisme appliqué en informatique ignore la soustraction, ce que la balance me permettait.
Lorsque l’on rajoute la soustraction, la base 3 s’avère particulièrement efficace -1 poids par puissance- pour décrire les naturels quand les bases supérieures nécessitent à nouveau plus d’un poids par puissance.
A partir de cet exemple, j’ai compris le sens de l’explication que m’avait donné mon grand-père sur les métanombres et les lois qui sont à la base de nombreuses théories physiques (0,1,3,puissance, soustraction/intrication).
Ils sont forts ces bédouins !

Jean-Nicolas Maisonnier
Cette histoire de 40 et des puissances de trois qui nous arrive le jour du début de la quarantaine annuel (Carême) des disciples du Dieu trine ... c’est fort ! Je reconnais là l’humour de Xavier . Merci à toi Xavier et à toi Guilhem de nous donner de quoi nourrir nos réflexions arithmétiques et thélogiques ! Ce carême va être joyeux et fécond.

L’image de la balance et des métanombres à déplacer d’un coté ou de l’autre (addition ou soustraction) pour engendrer les entiers naturels est parlante. Jacques, l’énnoncé de ton Théoreme de Xavier me parait très clair et bien résumer les leçons à tirer de l’énigme du bédouin.
As-tu une démonstration simple du l’unicité de la solution ?

Alain Bruyère
Attention de ne pas être aveuglé ; cela semble incroyable que pour peser 40kg max, avec 4 nombres différents on puisse le faire avec 1-3-9-27 mais en réalité il me semble que c’est parce que 1+3+9+27=40, qu’on peut construire
tous les nombres de 1 à 40 ; avec 1-3-9-27-81 on peut construire tous les nombres de 1 à 121, avec 1-2-4-8 on peut aussi construire tous les nombres de 1 à 15 et avec 1-2-4-8-16, tous les nombres de 1 à 31 et avec 1-2-4-8-16-32, de 1 à 63 etc. Par contre, avec 1-4-16-64, impossible, cela
ne marche qu’avec les puissances de 2 et de 3 !

=> qu’en tirer comme conclusion ?

Jacques Malbrancke
Alain, je crois que tu as posé la bonne question : on constate que les suites des puissances entières de 1, 2 et de 3 permettent chacune, par addition et soustraction, d’obtenir tous les nombres entiers naturels. On constate aussi que cette propriété ne s’étend pas pour les chiffres supérieurs. Il me semble aussi que cette propriété, liée aux nombres et non à leur transcription écrite, est indépendante de la base choisie. Enfin je pense
que toute "démonstration" de cette propriété n’amènerait rien.

Par contre, que dire des nombres premiers ? Tout nombre premier, étant un nombre entier naturel, peut s’écrire sous forme d’une suite d’additions et/ou de soustractions de puissances de 2 et de 3. Chacune de ces suites aurait-elle des propriétés particulières pour les nombres premiers ?

Michel Godron
Il n’y a rien d’incroyable à constater qu’un petit nombre de puissances de 2 additionnées systématiquement permette de contruire un beaucoup plus grand nombre de nombres entiers. Un programme de 4 lignes écrit dans le langage d’Iverson montre que :

Nombre de puissances de 2 Nombres entiers construits
4 39
5 79
6 159
7 319
8 639
9 1279

etc. puisque l’augmentation du nombre de nombres entiers
ainsi construits augmente régulièrement selon la progresssion 40 80 160 320 640 etc.

"Pour que la lumière soit", discussion à continuer sur le forum ci-dessous. Merci


Commentaires  forum ferme

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dimanche 11 mars 2007 à 21h38 - par  Bertrand LALLOUR

Je suis personnellement complétement incapable de suivre les différentes hypothèses mathématiques de solutions, pour lesquelles vous débattez les uns les autres ; je voulais cependant vous signaler que Tao-to-king en XLII avait déja évoqué en son temps, la génération des puissances de Trois : :

"Le Tao engendre le Un,
Un engendre Deux,
Deux engendre Trois,
Trois engendre tous les êtres..."

Amitiés à tous.

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mardi 6 mars 2007 à 11h17 - par  Michel NT

Cher Jacques,

En raison des caprices des logiciels installés sur mon ordinateur, certains de mes messages donnant des détails sur la réponse à l’énigme des 40 kg ne sont pas parvenus, et ceci explique pourquoi ma contribution au débat reste si confuse ...

Je vais essayer de répondre directement à ta question la plus simple : pour obtenir 5 à partir d’additions des puissances de 4, il me semble qu’il suffit d’ajouter (1 = 4*0) et (4 = 4*1). C’est même plus rapide que d’obtenir 5 à partir d’additions des puissances de 3, en additionnant (1 = 3*0) + (1 = 3*0) + (3 = 3*1).

Il me semble qu’il en est de même pour obtenir 7, mais je me trompe peut-être en simplifiant exagérément le problème, ou peut-être l’ai-je mal compris ...

Le produit externe du vecteur X, composé de m nombres, par le vecteur Y, composé de n nombres, est la matrice

X1+Y1 X1+Y2 .... X1+Yn
X2+Y1 X2+Y2 .... X2+Yn
...
...
Xm+Y1 Xm+Y2 .... Wm+Yn

Mon logiciel est décidément bien imparfait, puisque, en relisant ce message, je m’aperçois que la matrice est réduite à un vecteur. Si tu veux me donner ton adresse de courriel, je t’enverrai ce message en extension .doc

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dimanche 4 mars 2007 à 22h36 - par  Jacques M

Michel,
j’avoue ne pas comprendre ton article ci-dessus, peut-être parce qu’il me manque les lignes de programmes informatique dont tu parles, ainsi que la notion de produit externe.
mais je vois mal comment un entier naturel quelconque peut être défini comme une suite de puissances de 4 ou de 5... comment obtenir par exemple le nombre 5, ou le nombre 7 sous forme d’une suite d’additions ou de soustractions de puissances de 4 ? Alors que cette propriété est vraie pour les puissances de 3, et bien entendu de 2, puisque c’est là la définition même de la numération binaire (avec en sus l’emploi de l’addition seule).

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dimanche 4 mars 2007 à 22h28 - par  Jacques M

J’ai essayé de traduire en équation l’énigme du bédouin : 3exp(n+1) = 2x
somme de i+1 à i+n (3exp(i)) + 1.
que je pourrais phraser en disant que 3 à la puissance (n+1) est égal à 2
fois la somme de i=1 à i=n de 3 à la puissance i, plus 1.
(je ne dispose pas des signes mathématiques pour mieux écrire cette formule) ;
Je n’ai pas cherché à démontrer cette formule, mais l’un d’entre vous en
viendra facilement à bout. Alain signalait dans un précédent courriel que
l’on pouvait aussi engendrer tous les nombres entiers naturels avec les
puissances de 2. Mais il s’agit alors de la transcription en binaire des
nombres entiers naturels, . Dans le cas qui nous occupe ici, c’est tout
différent, il ne s’agit pas d’une numération en base trois, puisque les
différents poids sont tous affublés d’un coefficient 1, et que les formules
de génération utilisent tant l’addition que la soustraction. Ainsi, 5 est
égal à 3exp2 - 3exp1 - 3exp0, 7 se définit pas 3exp2 - 3exp1 + 3exp0. Alors
qu’en binaire les différents poids sont affectés d’un coefficient unitaire
ou nul, et que seule l’addition est utilisée.

Jacques

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dimanche 4 mars 2007 à 18h30 - par  Michel NT

J’ai essayé de répondre sur le site en détail pour expliquer le programme de calcul des premiers nombres entiers. Mais j’ai l’impression que cette réponse n’a pas été enregistrée et je la résume ci-dessous en prenant l’exemple des trois premières puissances de 2, qui donne le vecteur initial 0 1 2 4, qui est aussi choisi comme "vecteur intermédiaire" :

La seconde ligne du programme calcule alors le produit externe du vecteur initial par le nouveau vecteur et extrait les nombres entiers ainsi obtenus en donnant le nouveau vecteur intermédiaire :
0 1 2 3 4 5 6 8
On voit que le chiffre 7 manque.

La troisième ligne du programme lance l’itération. La seconde ligne du programme calcule alors le produit externe du vecteur initial par le nouveau vecteur intermédiaire, et extrait les nombres entiers ainsi obtenus en donnant le nouveau vecteur intermédiaire :
0 1 2 3 4 5 6 8 7 9 10 12
On voit que le chiffre 11 manque.
etc.

Le tableau que j’ai envoyé indique le nombre de nombres entiers successifs obtenus avec chacun des nombres de puissances de 2 du vecteur initial avec un nombre d’itérations égal à ce nombre de puissances de 2 du vecteur initial (voir mon premier message)

Ce tableau montre que le nombre de nombres premiers successifs obtenus augmente de 40, 80 160, etc.

Le même programme fonctionne avec les puissances de 3, de 4, de 5, etc. et montre que :
- les puissances de 3 n’ont aucune vertu particulière dans ce petit problème ;
- je ne comprends pas pourquoi Jacques pense que "cette propriété ne s’étend pas aux chiffres supérieurs" à 3 ; il faut donc chercher ailleurs ce qui justifie le rôle particulier des "métanombres" ;
- la soustraction n’est pas nécessaire pour ces problèmes de pesée (qui sont une introduction commode aux calculs non inférentiels d’information et de néguentropie) de même que l’arithmétique de Peano n’inclut pas la soustraction dans sa version de base.

L’énigme est-elle ainsi résolue ?

J’ajoute que ce programme repose sur les axiomes de l’arithmétique de Peano (1889) quand on prend seulement la première puissance de 2

Logo de Xavier SALLANTIN
dimanche 25 février 2007 à 08h34 - par  Xavier SALLANTIN

"L’énigme du Bédouin" a suscité par ma faute un amusant et stimulant émoi dans le Groupe car j’ai fait l’erreur de croire, en première réaction, que
cette propriété spécifique des puissances de 3 successives, permettant
d’optimiser le nombre des poids d’une pesée, ne valait que pour des sacs
de 1 à 40 Kgs.
Il n’en est rien, cette propriété est générale quel que soit le poids à
peser sur une balance à deux plateaux :
- Avec 2 poids on pèse de 1 à 4 kg= 1+3
- Avec 3 tels poids on pèse de 1 à 13 kgs = 1+3+9
- Avec 4 tels poids on pèse de 1à 40 kgs = 1+2+9+27
- Avec 5 tels poids on pèse de 1à 121 kgs = 1+3+9+27+81
- Etc..

Rien d’incroyable ni de mystérieux dans cette propriété spécifique du 3 qui
s’explique aisément mais cependant la confirmation, parmi beaucoup d’autres,
de l’importance (du poids !) que la TGS prête à ce nombre 3 dont elle fait
un "hypernombre" essentiel à la méta-arithmétique que présuppose la
construction de tous les nombres.

Une interpellation qui demeure aussi dans le fait que nombre de sagesses
anciennes ont eu cette intuition, notamment les Pythagoriciens et les
Taoistes pour qui 3 était le nombre par excellence.

Logo de Alain BRUYERE
vendredi 23 février 2007 à 22h39 - par  Alain BRUYERE

Michel,

Ce serait bien d’expliquer le tableau et comment faire le lien entre la colonne de gauche et celle de droite

Merci

Alain